Если элемент A можно выбрать m способами, а элемент B можно выбрать k способами, то выбор элемента A или B можно осуществить m + k способами.

Правило суммы можно перефразировать на теоретико-множественном языке. Обозначим через | A | число элементов множества A, через A B - объединение множеств A и B, через AxB - декартово произведение множеств A и B. Тогда для непересекающихся множеств A и B выполняется равенство:

| A B | = | A | + | B |.

Обобщением правила суммы является правило произведения.

Если элемент A можно выбрать m способами, а после каждого выбора элемента A элемент B можно выбрать k способами, тогда, упорядоченную пару элементов (A, B) можно выбрать m*k способами.

Правило произведения можно распространить на выбор последовательности (x₁, x₂, …, x_n) произвольной конечной длины n.
На теоретико-множественном языке правило произведения формулируется так: | Aх B | = | A | | B |.

Назовём множество, содержащее n элементов, n-множеством.

Последовательность (x₁, x₂, …, x_k ) длины k без повторяющихся элементов из элементов данного n-множества назовём k-размещением.

Обозначим символом число размещений из n по k элементов (от фран. "arrangement" - размещение). Используя правило произведения, вычислим число .
Пусть произвольное размещение длины k имеет вид:

Элемент x₁ можно выбрать n способами. После каждого выбора x₁ элемент x₂ можно выбрать
(n - 1) способами. После каждого выбора элементов x₁ и x₂ элемент x₃ можно выбрать (n - 2) способами, и т.д. После каждого выбора элементов x₁ , x₂, …, x_k-1 элемент x_k можно выбрать
(n - (k - 1)) = (n - k + 1) способами. Тогда, по правилу произведения, последовательность
(x₁; x₂; , …, x_k ) можно выбрать числом способов, равным

n(n - 1)(n - 2) … (n - k + 1) =            (1.1)

.                                     (1.2)

k-подмножество данного n-множества называется k-сочетанием.

Обозначим через число k-сочетаний из данных n элементов. Формулу для числа получим, рассуждая следующим образом. Если каждое сочетание упорядочить всеми возможными способами, то получим все k-последовательностей из n элементов, без повторений, то есть все k-размещения.
Иными словами,
Откуда:       (1.3)
или
Предполагая, что n и k - целые положительные числа и 0!=1, сформулируем основные свойства сочетаний.

Основные свойства сочетаний.

1. Условились, что
2. 
3. 
4. 
5. 

Пример. В корзине находятся 20 орехов, из которых 7 грецких. Наудачу выбирают 5 орехов. Найти вероятность того, что среди выбранных орехов содержатся 2 грецких.

Решение. Число исходов опыта . Случайное событие A - среди пяти выбранных орехов содержатся 2 грецких ореха. Число исходов, благоприятствующих событию A, равно: . Искомая вероятность .

Задачи.

1. Найти вероятность того, что случайно выбранное 5-значное (десятичное) число не содержит цифры 5.
2. Предприятие располагает 5 вакансиями для мужчин, 5 вакансиями для женщин и 4 вакансиями для работников любого пола. В отдел кадров предприятия обратилось 20 человек, среди которых 12 мужчин и 8 женщин. Сколькими способами предприятие может заполнить имеющиеся вакансии?
3. В классе 25 учеников, из которых 13 юношей и 12 девушек. Сколькими способами 25 учеников могут встать в шеренгу так, чтобы юноши после удаления из строя девушек, оказались построенными по росту; аналогично девушки после удаления из строя юношей оказались построенными по росту?

В современной литературе наиболее употребителен для обозначения числа k-сочетаний из n элементов символ , n называют верхним индексом, k - нижним индексом.
Используя свойства сочетаний 1, 2, 4, составим таблицу1.

n
0	1
1	1	1
2	1	2	1
3	1	3	3	1
4	1	4	6	4	1
5	1	5	10	10	5	1
6	1	6	15	20	15	6	1
7	1	7	21	35	35	21	7	1
8	1	8	28	56	70	56	28	8	1
9	1	9	36	84	126	126	84	36	9	1
10	1	10	45	120	210	252	210	120	45	10	1

Заметим, что Блез Паскаль называл числовой треугольник, начало которого содержится в таблице1, арифметическим. Паскаль посвятил свойствам арифметического треугольника основополагающий "Трактат об арифметическом треугольнике" (1654). Справедливости ради, стоит упомянуть, что биномиальные коэффициенты были хорошо известны в Азии за много веков до рождения Паскаля. В Италии треугольник Паскаля называют треугольником Тартальи.
Сочетания имеют многочисленные интерпретации и приложения. Сочетания являются биномиальными коэффициентами в разложении бинома

     (1.4)

В этой интерпретации индексы могут принимать вещественные значения. Используя свойства биномиальных коэффициентов (при разных ограничениях на выбор верхних и нижних индексов), доказано громадное число комбинаторных тождеств, составивших самостоятельный раздел комбинаторной математики. В частности, из формулы 1.4 при x = 1, получим , при
x = -1, n > 0, получим , продифференцировав равенство 1.4, получим при x = 1, и т.д.
Существует тесная связь между подмножествами множества и разложениями целого (положительного) числа. Разложение n есть представление числа n в виде упорядоченной суммы положительных целых чисел. Например, существует восемь разложений числа 4, именно:
1+1+1+1   3+1
2+1+1      1+3
1+2+1       2+2
1+1+2         4
Если разложение содержит в точности k слагаемых, то говорят, что имеет k частей и называется k-разложением. Для k-разложения числа n: a₁ + a₂ + …+ a_n - определим
(k - 1)-подмножество ( ), (n - 1)-множества {1, 2, …, n-1}, формулой.

( ) ={ a₁, a₁ + a₂,…, a₁ + a₂ +…+ a_k-1 }        (1.5)

Эта формула устанавливает биекцию между всеми k-разложениями числа n и (k - 1)-подмножествами (n - 1)-множества.
Следовательно, существует k-разложений числа n и 2^n-1 разложений числа n. Биекцию часто схематично изображают строкой, состоящей из n точек и k - 1 разделяющей вертикальной черты. Точки разделились по k линейно упорядоченным "купе"; числа точек в "купе" соответствуют слагаемым в k-разложении числа n. Например, строка | | | | | соответствует разложению 1+2+1+1+3+2. Другая проблема, тесно связанная с разложениями, есть задача подсчёта числа N(n,k) решений уравнения

Неотрицательные целые решения уравнения 1.6 называются слабыми k-разложениями числа n. Число неотрицательных целых решений уравнения 1.6 равно числу положительных решений уравнения

Если k-сочетание содержит повторяющиеся элементы, то такое k-сочетание называют
k-мультимножеством. Число всех k-сочетаний с повторениями из данного n-элементного множества обозначим через , где

       (1.7)

Сочетание можно интерпретировать, как распределение элементов n-множества S между двумя категориями, первая из которых содержит k элементов, вторая содержит n - k элементов. Обобщим это представление. Пусть (a₁, a₂, …, a_m)- последовательность неотрицательных целых чисел, сумма которых равна n. Рассмотрим m категорий C₁, C₂, … C_m.
Обозначим символом        (1.8)
число способов распределения n элементов среди категорий C₁, C₂, … C_m так, чтобы категории C_i принадлежало точно a_i элементов. Тогда        (1.9)

Комбинаторные конфигурации наиболее общего вида были исследованы в 30-е годы XX столетия и были названы блок-схемами (block design). Блок-схемы состоят из наборов элементов, называемых блоками. Выбор элементов и пар элементов в блоки подчиняются определённым правилам.

Уравновешенной неполной блок-схемой называется такое размещение v различных элементов по b блокам, что каждый блок содержит точно k различных элементов, каждый элемент появляется точно в k различных блоках и каждая пара различных элементов a_i , a_j появляется точно в блоках.

Множество всех сочетаний из v элементов по k, взятых в качестве блоков, образует полную блок-схему. Часть этих сочетаний, в которых каждая пара a_i, a_j появляется одно и то же число раз, является неполной, но уравновешенной блок-схемой. Между пятью параметрами блок-схемы выполняются следующие два соотношения:

Частным случаем блок-схем являются так называемые конечные плоскости. Выберем конечное множество P. Элементы из P назовём точками. Некоторые подмножества из P назовём прямыми. Пусть отношение инцидентности между точками и прямыми удовлетворяет следующим геометрическим аксиомам.

1. На каждой прямой лежит n точек B.
2. Через каждую точку проходят n прямых.
3. Любые две прямые пересекаются в одной точке.
4. Через любые две точки проходит единственная прямая.
5. Существуют 4 точки неколлинеарные по три.

Тогда конечное множество P точек и множество L прямых образует конечную проективную плоскость.

Пример:
P = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.
L = {l₁, l₂, l₃, l₄, l₅, l₆, l₇}
l₁ = {1, 2, 3}, l₂ = {3, 4, 5}, l₃ = {1, 5, 6}, l₄ = {1, 4, 7}, l₅ = {2, 5, 7},
l₆ = {3, 6, 7}, l₇ = {2, 4, 6}.